Phép nhân ma trận bao gồm việc nhân từng vectơ hàng của một ma trận với từng vectơ cột của ma trận kia.

Tích vô hướng của hai vectơ a và b là tương đương với tích ma trận khi vectơ hàng a nhân với vectơ cột b,

a ⋅ b = a b T = [ a 1 a 2 a 3 ] [ b 1 b 2 b 3 ] = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\,,}

tích này cũng tương đương với tích ma trận khi b là vectơ hàng nhân với a là vectơ cột,

b ⋅ a = b a T = [ b 1 b 2 b 3 ] [ a 1 a 2 a 3 ] . {\displaystyle \mathbf {b} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}\,.}

Ngược lại, phép nhân ma trận của một vectơ cột với một vectơ hàng thì cho kết quả là tích ngoài của hai vectơ a và b, là ví dụ của khái niệm tích tenxơ tổng quát hơn. Nếu a là vectơ cột còn b là vectơ hàng, ta có ma trận tích khi a nhân với b là

a ⊗ b = a T b = [ a 1 a 2 a 3 ] [ b 1 b 2 b 3 ] = [ a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b 3 a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b 3 a 3 b 1 a 3 b 2 a 3 b 3 ] , {\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\\end{bmatrix}}\,,}

ta thấy đây là chuyển vị của ma trận tích khi b là vectơ cột và a là vectơ hàng,

b ⊗ a = b T a = [ b 1 b 2 b 3 ] [ a 1 a 2 a 3 ] = [ b 1 a 1 b 1 a 2 b 1 a 3 b 2 a 1 b 2 a 2 b 2 a 3 b 3 a 1 b 3 a 2 b 3 a 3 ] . {\displaystyle \mathbf {b} \otimes \mathbf {a} =\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}a_{1}&b_{1}a_{2}&b_{1}a_{3}\\b_{2}a_{1}&b_{2}a_{2}&b_{2}a_{3}\\b_{3}a_{1}&b_{3}a_{2}&b_{3}a_{3}\\\end{bmatrix}}\,.}